E-school  di  Arrigo Amadori

Sintesi

Teoria della relatività

01- Principio di relatività galileiana (RGal).

Galileo stabilì i criteri che stanno alla base del cosiddetto "metodo scientifico". Esso si basa
sul presupposto che ogni affermazione riguardante i fenomeni naturali deve avere un riscontro
oggettivo sperimentale. E' solo attraverso gli esperimenti che le leggi della natura possono essere
conosciute.

Ogni esperimento si riduce in definitiva a misure di spazio e di tempo.

Per misurare la posizione di un oggetto nello spazio occorre un sistema di riferimento e per
misurare il tempo che trascorre fra un evento e l'altro occorre un orologio.

Un sistema di riferimento potrebbe essere determinato dall'insieme di tre spigoli
perpendicolari di una stanza. Rispetto ad un tale sistema la posizione di un punto nella
stanza può essere determinata dai tre numeri che si ottengono mandando le rette
perpendicolari ai tre spigoli suddetti e misurando le distanze fra l'origine ed i tre punti
così ottenuti. Dalla figura seguente si può vedere come si possono misurare le
coordinate di un punto :

Fra tutti i sistemi di riferimento possibili ve ne sono di particolari. In essi le leggi
della fisica risultano le più semplici possibili. Questi "speciali" sistemi sono
assolutamente equivalenti nel descrivere le leggi della fisica. Essi vengono chiamati
sistemi inerziali.

Il fatto che le leggi della fisica siano identiche in tutti i sistemi inerziali è il cosiddetto
principio di relatività galileiana (RGal). Questo principio fu scoperto da Galileo ed è
il principio più importante della fisica.

Un sistema inerziale potrebbe essere un treno che avanza a velocità costante su binari
rettilinei e lisci in cui non si avverte nessun sobbalzo. Oppure potrebbe essere una nave
che percorre una rotta rettilinea a velocità costante in un mare completamente calmo.
In entrambi questi sistemi, naturalmente, dobbiamo neutralizzare il campo gravitazionale
che renderebbe i due sistemi ovviamente non inerziali. Basta considerare dei piani molto
lisci paralleli alla superficie terrestre e limitare i nostri esperimenti alle sole due dimensioni
dei piani.

In questi sistemi di riferimento non ci si accorge di essere in moto (a meno che non si
guardi all'esterno). Tutti gli esperimenti di fisica fatti in questi sistemi non rivelano alcun
moto del sistema stesso. Inoltre nei sistemi inerziali le leggi della fisica sono identiche.
Se giocassi a biliardo in una nave od in un'altra non riscontro alcuna differenza di comportamento
negli urti fra le palle. I due sistemi inerziali sono assolutamente identici.

Un altro esempio di sistema di riferimento inerziale potrebbe essere una navicella spaziale
sufficientemente lontana da ogni pianeta in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse
(le stelle si muovono l'una rispetto all'altre così lentamente da sembrare immobili fra loro).
In una tale navicella spaziale possiamo considerare tutte e tre le tre dimensioni.

In un sistema inerziale un corpo in moto rettilineo uniforme (o in quiete) rimane nel suo stato
di moto finchè non interviene una causa esterna (forza) a modificarne il moto. Questo è il
cosiddetto principio d'inerzia, il 1' principio della dinamica.

In natura non esiste un sistema perfettamente inerziale. Attriti, urti, attrazioni gravitazionali e
quant'altro sono sempre presenti e non possono essere completamente eliminati. Quello che
però si può sempre fare è di ridurre questi disturbi piccoli a piacere per cui si può immaginare
che entro i limiti di approssimazione voluti, i sistemi inerziali esistono effettivamente.

I sistemi inerziali sono infiniti e fra di loro si muovono tutti di velocità uniforme (senza rotazioni).

Immaginiamo due sistemi di riferimento inerziali in moto uniforme relativo come illustrato
nella figura :

K' si muove rispetto a K di velocità uniforme V. Gli assi x e x' sono sovrapposti. I due
sistemi posseggono ciascuno un orologio. Supponiamo che al tempo t = 0 i due sistemi
siano coincidenti (O = O') ed i due orologi sincronizzati.

K e K' così definiti rappresentano la base di molti ragionamenti e considerazioni che faremo
in futuro per cui li chiameremo sempre "familiarmente" come K e K'.

Consideriamo in K' un segmento lungo l0 solidale con esso, un intervallo di tempo t0 misurato
in esso ed un punto P in moto con velocità W (sempre rispetto a K').

Ci chiediamo ora : quanto è lungo l0 rispetto a K ? Quanto dura t0 rispetto a K ? Qual'è la
velocità di P rispetto a K ?

Le risposte, secondo il senso comune, sono ovvie : l0, t0, V + W. Ovvero le lunghezze
dei segmenti e gli intervalli di tempo misurano la stessa quantità nei due sistemi di riferimento
mentre la velocità è vista aumentata della velocità relativa fra K e K'. In particolare il tempo
sembra scorrere ugualmente nei due sistemi, sembra essere una entità assoluta.

Vedremo in seguito che le cose non stanno esattamente così, però in prima approssimazione
queste ipotesi possono essere considerate valide (almeno per i fenomeni della nostra vita
quotidiana).

Per quanto riguarda i corpi in movimento accelerato, le loro accelerazioni vengono viste
identiche in K e K'.

02 - Principio di relatività ristretta (RR).

Circa a metà '800, Maxwell riuscì a descrivere tutti i fenomeni elettromagnetici in sole 4
equazioni. Da esse risultò che la luce (e ogni altro tipo di radiazione elettromagnetica) si
propaga nel vuoto con velocità c pari a circa 300.000 km/sec.

Consideriamo allora un raggio di luce emesso da K' nella direzione parallela al verso positivo
dell'asse x. Rispetto a K' la luce viaggia alla velocità c mentre rispetto a K la stessa
luce dovrebbe viaggiare alla velocità c + V. Se la luce venisse emessa nel verso contrario
al precedente, la velocità della luce rispetto a K dovrebbe essere c - V.

Questa supposizione appare ovvia nell'ambito delle idee di spazio, tempo e movimento che
ci siamo formati nella vita pratica. In effetti, essendo la velocità della luce estremamente
alta rispetto alle velocità usuali dell'esperienza quotidiana, c + V è praticamente uguale a c,
per cui non riusciamo normalmente a distinguere la differenza fra c, c + V e c - V.

E' solo con esperimenti molto accurati che si possono valutare queste differenze e verso la
fine dell' '800 ne fu fatto uno particolarmente accurato e preciso (l'esperimento Michelson e
Morley del 1881) che non portò ad alcun risultato. La velocità della luce appare la stessa in tutti
i sistemi di riferimento inerziali e non si verifica nessun aumento o diminuzione della medesima.

La luce si comporta in modo contrario alle usuali idee di movimento e di questo bisogna
prenderne semplicemente atto. Siamo di fronte ad un nuovo principio naturale : il principio
della costanza della  velocità della luce.

Questo principio può apparire assurdo secondo le nostre idee comuni ma nessun esperimento
è mai riuscito fino ad oggi a contraddirlo. Alla luce di questo non ci rimane altro da fare che
modificare, correggere le nostre idee di spazio, tempo e movimento.

Nel 1905 Einstein pubblicò un articolo in cui descriveva come queste idee devono essere
modificate. Egli espose il principio di relatività ristretta (RR) come una modificazione del
precedente principio di RGal con l'aggiunta del principio di costanza della velocità della luce.
Le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali per i quali,
di conseguenza, lo spazio ed il tempo hanno proprietà diverse da quelle dettate dal senso comune.

03 - Spazio-tempo 4-dimensionale.

Secondo Einstein non si deve più considerare lo spazio ed il tempo come entità assolute,
separate. Al contrario, spazio e tempo fanno parte di una unica realtà, lo spazio-tempo
4-dimensionale.

Passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, lo spazio ed il tempo cambiano
di conseguenza. In particolare i due orologi di K e K' non segnano più  lo stesso tempo,
bensì ciascuno il proprio. Un punto, quindi, è descrivibile rispetto a K da 4 numeri (coordinate) :
x, y, z che ne determinano la posizione nello spazio rispetto a K e t che ne determina la posizione
nel tempo (sempre rispetto all'orologio solidale con K). Analogamente il punto P avrà rispetto
a K' le coordinate : x', y', z', t' dove t è diverso da t'.

Un punto in movimento descrive nello spazio-tempo 4-dimensionale una linea continua
detta linea d'universo.

Le relazioni matematiche che legano le coordinate in K e K'  alla luce della RR si chiamano
trasformate di Lorentz (mentre quelle che legano K e K'  nell'ambito della RGal, si chiamano
semplicemente trasformate di Galileo).

Le trasformate di Lorentz portano ad alcuni risultati assolutamente imprevedibili e
rivoluzionari rispetto ai precedenti concetti fisici: un segmento in quiete rispetto a K'
viene visto da K accorciato di una quantità legata alla velocità relativa fra K e K'. Se
la velocità relativa tende a c,  il segmento viene visto lungo 0. Viceversa, un intervallo
di tempo misurato in K' viene visto in K durare di più in funzione della velocità relativa
fra K e K'. Se questa velocità tende a c, la durata misurata in K tende all'infinito.

La contrazione degli intervalli e la dilatazione dei tempi sono la conseguenza più
importante della teoria della RR. Da essa si deduce anche il fatto fondamentale
che la velocità della luce non può essere superata, essa rappresenta la velocità
limite della natura.

Dalla teoria della RR (e dalle trasformate di Lorentz che ne sono la sintesi matematica)
si deduce anche che le velocità non si sommano semplicemente, ma lo si fa con una
formula tale per cui combinando c con V si ottiene semplicemente c come deve essere
secondo il principio di costanza della velocità della luce.

04 - Paradosso dei gemelli.

La dilatazione relativistica del tempo ci porta ad alcune considerazioni molto interessanti.

Consideriamo un semplice esperimento ideale. Ci sono due gemelli (li chiameremo
K e K'). Un giorno K' intraprende un viaggio spaziale a velocità prossima a quella della
luce. Supponiamo che per K' il viaggio duri un anno. Per K, invece, a causa della
dilatazione dei tempi (che per velocità vicine a c diventa sempre più elevata) il viaggio
di K' viene visto durare supponiamo dieci anni. Quando K' ritorna da K, lo vedrà
invecchiato di nove anni rispetto a sè stesso.

Questo risultato potrebbe allora portare ad un paradosso, il cosiddetto paradosso dei
gemelli, perchè il ragionamento potrebbe essere capovolto (K e K' sono equivalenti in
quanto sistemi di riferimento inerziali) per cui, alla fine del viaggio, K dovrebbe vedere
K' invecchiato e nello stesso modo K' dovrebbe vedere K invecchiato dello stesso numero
di anni.

Il paradosso potrebbe essere usato (nella sua prima parte, cioè relativamente al viaggio
di K' rispetto a K) per constatare che K e K' non sono equivalenti, in quanto i due
gemelli non sono invecchiati nello stesso modo, per cui il principio di RR verrebbe
contraddetto.

Analizzando meglio questo esperimento ideale si vede però che esso è mal posto,
contiene un errore fondamentale di impostazione. K e K' non possono essere
entrambi sistemi di riferimento inerziali, dovendo K' subire forti accelerazioni  per
partire e poi per tornare. Considerando K inerziale, K' non lo è.

Non avendo a che fare con sistemi di riferimento inerziali il paradosso dei gemelli
non può mettere in crisi la RR che si occupa esclusivamente di sistemi di riferimento
inerziali.

Questo esperimento ideale, invece, è di competenza della teoria della relatività
generale che si occupa appunto di sistemi di riferimento qualunque, in generale
accelerati.

05 - Equivalenza massa energia.

Un'altra conseguenza fondamentale della RR riguarda il concetto stesso di
massa ed energia.

Secondo la meccanica classica un corpo in movimento possiede una energia
cinetica (di movimento) che si può, per esempio, manifestare quando quel corpo
ne urta un altro. Se un corpo è in quiete, invece, la sua energia cinetica è nulla.

Secondo la RR, invece, un corpo ha energia anche quando è in quiete e questa
energia è data dalla notissima formula :

La formula esprime un concetto "filosofico" completamente nuovo e ricco
di conseguenze inaspettate (rispetto alla meccanica classica) : esso afferma la
totale equivalenza di massa ed energia (a meno della costante moltiplicativa
c²). Afferma cioè che massa ed energia sono due aspetti apparentemente
diversi di una medesima realtà. La massa può di conseguenza trasformarsi
in energia e viceversa e la quantità di energia che si produce trasformando
la massa è enorme perchè m viene moltiplicato per il  numero grandissimo
90.000.000.000.000.000.

Simili energie si ottengono nelle reazioni atomiche di fissione (in cui nuclei
pesanti tipo l'uranio si rompono generando parti più leggere ed energia dal
difetto di massa (reattori nucleari, bombe atomiche)) e di fusione (in cui
nuclei leggeri come per esempio il deuterio si fondono formando elio con
trasformazione del difetto di massa in energia (stelle, bombe H)).

06 - Principio di relatività generale (RG).

Dalla appena esposte descrizione del mondo restano fuori i sistemi di riferimento
accelerati, quelli cioè che si muovono di moto non rettilineo uniforme rispetto ad
un sistema inerziale.

Einstein intuì che le leggi della fisica dovessero essere le stesse in ogni sistema
di riferimento, non solo in quelli inerziali. Questa estensione della RR va sotto
il nome di principio di relatività generale (RG).

Il problema della definizione della RG era però complicato dal fatto che già nella RR
si fa menzione del solo campo elettromagnetico (principio di costanza della velocità
della luce) mentre rimaneva del tutto escluso l'altro campo di forze noto a quei tempi,
il campo gravitazionale. Come inserire nella teoria anche il campo gravitazionale ?

Del campo gravitazionale era nota la formula di Newton che esprime la forza con cui
due masse qualunque si attirano. La forza gravitazionale è una forza universale che
agisce fra tutti i corpi, piccoli o grandi che siano. E' una forza molto debole che diventa
apprezzabile solo fra corpi molto grandi. Nessuno si rende conto che per esempio c'è
forza gravitazionale anche fra me stesso ed il computer su cui sto scrivendo !

Einstein si dedicò al problema della definizione della RG dal 1905 al 1916 e lo risolse
partendo da una  intuizione geniale su un fatto semplicissimo che è sotto gli occhi di tutti :
tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa
(non considerando l'attrito dell'aria ed il fatto che la terra ruota su sè stessa).

Questo fenomeno era stato studiato già da Galileo e da Newton ma nessuno dei due
aveva pensato che questo fatto fosse di fondamentale importanza e non una pura
casualità.

Questo fenomeno va sotto il nome di principio di equivalenza ed esprime il fatto che
la massa inerziale è uguale alla massa gravitazionale, ovvero che due corpi si attirano
gravitazionalmente con la stessa massa con la quale reagiscono a qualunque forza, di
qualunque tipo.

Il 2' principio della dinamica afferma che se una forza agisce su un corpo, gli imprime
una accelerazione proporzionale alla forza stessa (Aristotele pensava, invece, che la forza
fosse proporzionale alla velocità perchè non considerava gli attriti, vedi l'esempio di un
carro trainato da buoi i quali lo tirano con forza costante ed ottengono una velocità costante,
a causa appunto degli attriti).

Il coefficiente di proporzionalità fra forza e accelerazione si chiama massa inerziale (o
semplicemente massa) e la formula che lega queste grandezze è la arcinota  F = ma.

Due corpi si attraggono gravitazionalmente con una forza proporzionale alle masse
(inerziali) dei due corpi per cui non vi è distinzione fra massa inerziale e massa gravitazionale.
Vi è un solo tipo di massa.

Questo è un dato di fatto verificabile sperimentalmente e da ciò si deduce immediatamente
(omettiamo la semplice dimostrazione matematica) che l'accelerazione con cui un corpo
cade è indipendente dalla massa del corpo stesso. Non considerando l'attrito dell'aria
(basta fare l'esperimento in un tubo sotto vuoto) una piuma ed un sasso cadono allo stesso
modo.

Einstein collegò il fenomeno della caduta  (con la stessa accelerazione) dei corpi in un campo
gravitazionale col fatto che rispetto ad un sistema di riferimento uniformemente accelerato
(con accelerazione costante) tutti i corpi vengono visti accelerare con la stessa accelerazione
(opposta a quella del sistema) non dipendente dalla massa dei corpi.

Einstein notò che un campo gravitazionale è indistinguibile da un sistema di riferimento accelerato
(almeno per tempi sufficientemente corti).

Spieghiamo meglio il concetto con un esperimento ideale molto significativo. Supponiamo
che degli astronauti stiano navigando nello spazio in una navicella spaziale particolare :
essi hanno solo la possibilità di fare esperimenti di  fisica sugli oggetti al suo interno e
non hanno alcuna percezione di ciò che avviene all'esterno.

Supponiamo che ad un certo momento essi  notino che tutti i corpi all'interno della
navicella subiscano una medesima accelerazione costante in valore e direzione,
diciamo verso il pavimento dell'astronave.

Orbene, essi non potranno mai affermare con nessun esperimento fatto all'interno
della navicella che le accelerazioni che misurano siano causate dai razzi della
navicella che la stanno facendo accelerare oppure da un campo gravitazionale
esterno. Essi non potranno mai affermare, quindi, di essere in un sistema di riferimento
accelerato oppure di essere immersi in un campo  gravitazionale uniforme (come sulla
superficie terrestre).

Il fatto che un campo gravitazionale è matematicamente identico ad un  sistema di
riferimento accelerato è un altro modo di esprimere il principio di equivalenza ed
è la base su cui si fonda la RG.

Un campo gravitazionale è allora equivalente ad un sistema di riferimento (non inerziale)
in cui lo spazio-tempo risulta modificato, influenzato, incurvato dalle masse che lo generano.

Ecco così che i sistemi di riferimento non inerziali vengono conglobati nella teoria come
generalizzazione di quelli inerziali in presenza del campo gravitazionale.

Così la descrizione della natura (per quanto riguarda la forza elettromagnetica e gravitazionale)
è completa.

D'ora in poi non si farà più la distinzione fra sistemi di riferimento inerziali e non. Per entrambi
vale lo stesso principio di RG : le leggi della fisica devono essere le stesse rispetto a tutti i
sistemi di riferimento.

Lo spazio-tempo 4-dimensionale viene così perturbato dalle masse che generano il campo
gravitazionale che lo incurvano. Questo significa che lo spazio-tempo della realtà fisica non è
piatto, cioè euclideo. In esso non valgono più le regole della geometria euclidea. In uno spazio
non euclideo, per esempio, la somma degli angoli di un triangolo è diversa da 180 gradi, il rapporto
fra circonferenza e diametro è diverso da pigreco e due rette parallele si possono incontrare. Lo
spazio-tempo reale non è euclideo.

Questo dato può sembrare stupefacente perchè in effetti la geometri euclidea è ben soddisfatta
nell'esperienza comune fino a distanze molto rilevanti. Nel sistema nostro solare, per esempio, lo
spazio-tempo può considerarsi pressochè piatto. La curvatura dello spazio-tempo comincia a
farsi sentire per distanze molto grandi, per l'universo nel suo insieme o per oggetti particolari quali
i buchi neri.

La RG permette addirittura di fare ipotesi sulla formazione e lo sviluppo dell'universo nel suo
complesso e grazie alla RG la cosmologia ha assunto un ruolo vitale e fondamentale nella
fisica moderna.

07 - Spazio-tempo curvo.

Il concetto di spazio-tempo non euclideo è molto difficile da immaginare perchè non
possiamo visualizzare spazi a più di 3 dimensioni. In questo paragrafo cercheremo di
farci un'idea della curvatura dello spazio omettendo per semplicità il tempo e limitandoci
all'esempio di uno spazio 2-dimensionale (una superficie) immerso nel comune spazio
3-dimensionale euclideo della nostra esperienza. Le proprietà riscontrabili in un simile
esempio sono estendibili a spazi di qualunque dimensione compreso lo spazio-tempo
4-dimensionale della RG.

Immaginiamo una superficie 2-dimensionale curva. Immaginiamo di disegnare delle linee
curve sulla superficie in modo che ogni punto della superficie sia rappresentato dall'incrocio
di due di queste linee come indicato nella figura seguente :

In questo modo abbiamo definito sulla superficie un sistema di coordinate curvilinee.
Un esempio familiare di ciò sono la latitudine e la longitudine sulla superficie terrestre.
Ogni punto sulla superficie terrestre è individuato univocamente dalla sua latitudine e
longitudine. Nella nostra vita quotidiana, in effetti, la curvatura terrestre è un dato
trascurabile. Ci sembra di vivere a tutti gli effetti su una superficie piana e non ci
poniamo mai il problema del fatto che la terra è sferiforme. Non è così per chi  fa
la professione del disegnatore di rotte marine od aeree, per loro la curvatura terrestre
è ineliminabile.

In ogni modo, se prendiamo una porzione sufficientemente piccola di uno spazio curvo
qualunque, possiamo sempre considerare in esso lo spazio come "quasi" perfettamente
piatto, euclideo. Questo è un concetto molto importante ed è sempre applicabile, qualunque
sia la curvatura.

Consideriamo due punti A e B sulla superficie come indicato in figura ed immaginiamo
di tracciare delle linee che li congiungono. Queste linee devono giacere completamente
sulla superficie e mai distaccarsi da essa. Fra tutte le possibili linee ve ne è una sola che
ha la proprietà di essere la più breve. Questa linea si chiama geodetica.

Torniamo ora allo spazio-tempo 4-dimensionale della RG. Esso è da considerarsi in
generale incurvato dalle masse. Esso sarà piatto (euclideo) solo in assenza di masse.
Comunque possiamo sempre scegliere una piccola porzione di questo spazio-tempo
tale da essere considerato a tutti gli effetti praticamente piatto.

Fisicamente una tale piccola porzione euclidea la si può scegliere immaginando un sistema
di riferimento che cade liberamente nel campo gravitazionale per un tempo abbastanza
piccolo. Si può verificare ciò quando un aereo prende un vuoto d'aria, in certi giochi da
luna-park oppure in una navicella spaziale in orbita stazionaria attorno alla terra. In questi
sistemi in caduta libera, ogni corpo cade allo stesso modo, indipendentemente dalla sua massa
(principio di equivalenza) per cui  in effetti tutti i corpi appaiono privi di peso (peso =  forza
gravitazionale) e cadono tutti assieme al sistema di riferimento, quindi appaiono rispetto ad esso
in quiete o in moto rettilineo uniforme. Questo sistema in caduta libera appare inerziale per i suoi
"abitanti" ed in esso la geometria appare euclidea.

Lo spazio-tempo 4-dimensionale è nel suo complesso sempre curvo (a meno che non sia
privo di masse) anche se localmente può essere considerato piatto. Prendiamo due punti
A e B di questo spazio-tempo ed immaginiamo tutte le linee che li congiungono. Queste
linee, come nell'analogia 2-dimensionale, non possono mai uscire dallo spazio-tempo curvo,
ne devono assolutamente seguire la curvatura. Fra tutte le linee che congiungono A e B
ve ne è una di distanza minima. La geodetica.

Un corpo qualunque, nel suo moto nello spazio-tempo, deve seguire una geodetica. Questo
principio deriva da un principio naturale più generale, il principio di minima azione, secondo
il quale la natura compie sempre il minimo "sforzo", ovvero la natura è priva di "fantasia". Un
corpo percorrendo una geodetica soddisfa il principio di minima azione.

Conoscendo la curvatura dello spazio-tempo si possono determinare le geodetiche e quindi si
possono conoscere le traiettorie compiute dai corpi che si muovono nello spazio-tempo. Questo
risultato permette una descrizione completa dei fenomeni che avvengono nello spazio-tempo curvo.

Rimane solo da definire la curvatura dello spazio-tempo in funzione delle masse che vi creano
il campo gravitazionale. Ovvero, data una distribuzione di masse, come di conseguenza viene
incurvato lo spazio-tempo ? La risposta a questa domanda assieme al concetto di geodetica
descrive completamente il campo gravitazionale e la sua evoluzione (nonchè come i corpi si
muovono in esso).

La definizione della curvatura dello spazio-tempo avviene attraverso l'equazione di Einstein, una
equazione estremamente complessa che è in grado di descrivere ogni tipo di campo gravitazionale
ed addirittura l'universo nel suo complesso.

08 - Conseguenze della RG.

Il fatto che il campo gravitazionale creato dalle masse incurvi lo spazio-tempo produce conseguenze
assolutamente nuove rispetto alla meccanica classica. Ne elenchiamo alcune particolarmente importanti :

1- spostamento verso il rosso (red shift) gravitazionale : a causa dell'incurvamento dello
spazio-tempo un orologio immerso in un campo gravitazionale viene visto marciare più
lentamente da un osservatore posizionato al di fuori del campo (ovvero dove il campo è più
debole). Supponiamo allora di osservare un orologio posto sulla superficie del sole dove
il campo gravitazionale è sicuramente molto intenso. Secondo quanto precedentemente
affermato lo dovremmo vedere segnare il tempo più lentamente di un analogo orologio
posizionato qui sulla terra. Il problema è che non potremo mai posizionare un orologio
sul sole per via della enorme temperatura. Possiamo però utilizzare gli "orologi naturali"
che già vi sono posizionati. Gli atomi eccitati emettono radiazioni di frequenza ben
determinata. Noi possiamo considerare queste frequenze tipiche di ogni atomo come
degli orologi perfetti. Osservando le frequenze di emissione degli atomi sul sole osserviamo
che esse ci appaiono minori, più rosse, di quello che dovrebbero essere e ciò conformemente
all'incurvamento dello spazio-tempo prodotto dal campo gravitazionale solare..

2- spostamento del perielio di mercurio : mercurio è il pianeta più vicino al sole e la sua orbita
deve risentire più di ogni altro pianeta dell'incurvamento spaziale generato dal campo
gravitazionale solare. Gia da metà '800 era nota una piccola variazione (43" per secolo) del
perielio di mercurio secondo la quale il pianeta non percorre una ellisse chiusa, bensì compie
un'orbita a "rosetta". Questa anomalia non trovava una spiegazione nell'ambito della teoria
newtoniana. All'interno della RG questo fenomeno trova una spiegazione nell'incurvamento
spaziale che in prossimità del sole è apprezzabile. .

3- deviazione della posizione apparente delle stelle nelle vicinanza della superficie solare :
se lo spazio è incurvato dal campo gravitazionale del sole, un raggio di luce che passa nelle sue
vicinanze (dove l'incurvamento è maggiore ed il fenomeno più rilevabile) non può compiere un
cammino rettilineo (come se lo spazio fosse euclideo). Le stelle posizionate (apparentemente) nei
pressi della superficie del sole devono allora avere la loro luce deviata dal campo gravitazionale
solare. Il sole funge allora da "lente gravitazionale" e le stelle appaiono spostate rispetto alla posizione
che hanno quando sono posizionate lontane (apparentemente) dal sole. Questo fenomeno è verificabile
solo durante le eclissi solari totali.

4- onde gravitazionali : come ogni campo, anche il campo gravitazionale deve propagarsi
nello spazio con una velocità finita. Einstein stesso ipotizzò che anche il campo gravitazionale
si propaga per onde gravitazionali alla velocità della luce.  Le onde gravitazionali possono essere
immaginate come le "increspature" del campo gravitazionale. Le onde gravitazionali sono state
anche quantizzate ed è stata fatta l'ipotesi che esse viaggino sotto forma di particelle, i gravitoni,
così come le onde elettromagnetiche viaggiano sotto forma di fotoni. Le onde gravitazionali
sono molto deboli per cui a ancora oggi non sono state rivelate con esattezza.

5- buchi neri : se la massa di una certa distribuzione di materia è sufficientemente grande e
gli atomi possono avvicinarsi liberamente, si ha il fenomeno del collasso gravitazionale. Ciò
può accadere in una stella che sta esaurendo il combustibile nucleare che la tiene in vita,
(l'idrogeno). Quando una stella si raffredda, essa comincia a contrarsi e a ridursi di volume
fino a densità enormi (col raffreddamento progressivo, la gravità, che è sempre centripeta,
vince la repulsione elettrica fra i protoni i quali vengono compattati sempre più e combinati
con gli elettroni  fino a che la stella diventa composta da soli neutroni).  Quando (se ciò è
possibile) tutta la materia di un corpo che collassa entra dentro la superficie degli eventi di
quel corpo (ogni corpo ha la propria, per la terra è una sfera di raggio 0,9 cm concentrica col
centro della terra, per il sole è una sfera di 3 km di raggio),  si crea un fenomeno del tutto nuovo.
Il campo gravitazionale diviene così intenso da curvare talmente lo spazio-tempo a tal punto
che nulla può più uscire da quella sfera, neanche la luce. Si ha così la  nascita di un buco nero.

Un buco nero, per la sua caratteristica di non emettere alcunchè non è visibile e quindi non
può essere osservato direttamente. Una verifica dell'esattezza di questa teoria è assai
problematica, però, indirettamente, si possono notare stelle che ruotano velocemente
attorno ad un punto ed altri fenomeni analoghi. Evidenze di fenomeni  di questo tipo
cominciano ad essere numerose per cui si può dedurre che siano causati da ipotetici
buchi neri. Recentemente è stata fatta l'ipotesi che in effetti un buco nero non è poi così
nero, esso emette materia e radiazione anche se in misura minima. Questo avverrebbe per
fenomeni legati alla meccanica quantistica. In meccanica quantistica, una particella può
superare, con una certa probabilità (non nulla) anche una barriera di potenziale che secondo
la meccanica classica sarebbe insuperabile. Questo fenomeno, detto effetto tunnel, fa sì che
io abbia una probabilità non nulla, per esempio, di saltare 10 metri in alto. E' chiaro che questa
probabilità è pressochè nulla, però, per la legge dei grandi numeri, se facessi infiniti tentativi,
avrei un numero di risultati positivi uguale alla probabilità teorica (rapportata al numero dei
tentativi). In una stella collassata vi è un numero grandissimo di particelle, per cui qualcuna
esce di fatto dal buco nero. Un buco nero evapora lentamente .

09 - Cosmologia.

L'equazione di Einstein è in grado di descrivere l'evoluzione sia del campo gravitazionale
che del moto delle masse al suo interno. L'equazione di Einstein è in grado di descrivere,
quindi, anche la struttura dell'universo nel suo insieme (in larga scala, ovvero quando i
fenomeni quantistici che agiscono a livello atomico e subatomico sono ininfluenti).
Questo fatto assolutamente nuovo fu subito messo in luce da Einstein stesso (1917).
Da quel momento la cosmologia diventò una branca della fisica dinamica e vitale come
non mai in passato. Si iniziò a ipotizzare modelli di universo basati sui presupposti più
svariati ma che sempre dovessero soddisfare l'equazione di Einstein. Furono ipotizzati
modelli omogenei o non, isotropi o non, aperti, chiusi, statici  o non.

Fu solo nel 1929 che con la scoperta (dovuta a Hubble) dello spostamento verso il rosso
delle galassie (red shift cosmologico) la cosmologia prese una direzione ben precisa :
l'universo sembra espandersi.

Osservando le galassie esse appaiono più rosse di quello che dovrebbero essere.
Ciò si può spiegare in base all'effetto Doppler. Questo effetto, che noi sperimentiamo
comunemente nel campo delle onde acustiche (il fischio del treno che ci viene incontro
è più alto mentre è più basso quando si allontana), afferma che la frequenza di un'onda
di qualunque tipo (acustica, elettromagnetica) emessa da una sorgente in moto relativo
rispetto ad un osservatore appare maggiore se la sorgente si muove in direzione
dell'osservatore, minore se si allontana.

Ora, se le galassie appaiono più rosse, ciò potrebbe significare che esse si stanno
allontanando rispetto a noi. L'universo, quindi, si starebbe espandendo e, portando
il processo all'indietro nel tempo, probabilmente, in  un lontano passato, esso doveva
essere tutto concentrato in un volume limitato da cui, poi, è iniziata l'espansione. Questa
è l'ipotesi  del big bang che oggi rappresenta la teoria più avvalorata sulle origini e
l'evoluzione del cosmo.

Se l'universo si espande, ci possono essere due possibilità. O l'espansione dura per
sempre e l'universo è destinato a diventare sempre più rarefatto e freddo oppure, dopo
l'espansione, se la massa totale è sufficientemente grande, l'universo comincerà ad
implodere (big crunch) fino a tornare alla situazione iniziale per poi, magari, riesplodere
e ricominciare ad espandersi di nuovo.

L'avverarsi di uno o l'altro dei modelli dipende dalla massa complessiva dell'universo.
La misura della massa totale è un problema assai complesso perchè la massa di cui ci
perviene "informazione" è solo quella che emette radiazione elettromagnetica (al momento
noi "vediamo" l'universo attraverso telescopi ottici,  radiotelescopi, telescopi a raggi infrarossi,
x ecc. ma tutti solo in grado di captare radiazioni elettromagnetiche).

Nell'universo, però, c'è sicuramente anche della massa della quale non ci perviene
informazione, la cosiddetta massa oscura. E' formata almeno dai buchi neri e dai neutrini,
nel caso essi abbiano massa non nulla (non è ancora chiaro se la massa del neutrino sia nulla
o no).

Se consideriamo solo la massa visibile, sembra che essa sia troppo piccola per contrapporsi
all'espansione per cui l'universo dovrebbe espandersi per sempre. Il problema è aperto ma,
mentre si stanno facendo stime ed ipotesi sempre più approfondite sulla massa oscura, una
scoperta recente (ancora in fase di verifica) è destinata a rivoluzionare tutte le nostre idee riguardo
al cosmo : sembra che l'espansione dell'universo stia addirittura accelerando (in positivo).

Siamo forse alla vigilia della scoperta di una nuova forza ?

Fine.

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