E-school  di  Arrigo Amadori

Sintesi

Meccanica classica

La meccanica classica è la prima teoria fisica fondata su base scientifiche della storia.

Essa trae origine da Galileo (fra '500 e '600), viene sviluppata da Newton (fra '600 e '700) e
portata a compimento da Lagrange (fra '700 e '800) , Hamilton e Jacobi (metà '800).

I presupposti su cui si basa sono tratti da considerazioni molto vicine al "senso comune". Per
questo motivo la meccanica classica non è adatta a descrivere fenomeni fuori dalla portata di
questo "senso comune" che l'uomo ha evoluto vivendo nell'ambiente che ci circonda. Per esempio
la meccanica classica non è idonea a descrivere i fenomeni in cui le velocità in gioco siano
prossime a quella della luce (circa 300.000 km/s) oppure non è idonea a descrivere i
fenomeni del microcosmo (particelle, atomi ecc.)

Nel primo caso occorre la teoria della relatività di Einstein e nel secondo caso occorre la meccanica
quantistica. Entrambe queste teorie "correggono" la meccanica classica.

Per i fenomeni "ordinari", lontani cioè dai suddetti casi limite, la meccanica classica "funziona"
egregiamente. La precisione che si ottiene applicando le sue leggi e le sue formule per descrivere
i fenomeni "ordinari" è altissima. Per andare sulla Luna abbiamo usato le formule di Newton !!!

Iniziamo qui lo studio in dettaglio della meccanica classica presentandone i concetti salienti. Questa
trattazione non ha però nessuna pretesa di completezza, deve solo servire a "creare" un'idea di
base.

01 - Sistemi meccanici isolati.

Un sistema (insieme) di corpi che interagiscono fra loro è detto un sistema meccanico (diremo
anche semplicemente sistema).

Se un sistema non risente di alcun "disturbo" dall'esterno, quel sistema si chiama sistema isolato.

In natura i sistemi isolati (completamente) non esistono : tutto interagisce con tutto !!! Ma, entro
certi limiti ed in certi casi, un sistema può essere considerato isolato se l'interazione con l'esterno
è considerabile piccola (quanto debba essere piccola dipende dal tipo di fenomeno e dalla precisione
dei risultati che si desidera ).

Per esempio, un corpo qualunque della nostra esperienza quotidiana è attratto verso il centro della
terra dalla forza di gravità (il suo peso) per cui nessuno di questi corpi può essere considerato isolato,
ma, se per esempio appoggiamo un bicchiere sul tavolo, la sua forza peso (prodotta dalla gravità) è
annullata dalla reazione che oppone il tavolo ed allora questo bicchiere può essere considerato,
entro certi limiti, un sistema isolato. E' come se sul corpo non agissero forze. Forza peso e forza di
reazione del tavolo si neutralizzano a vicenda (la luce che illumina la stanza e le onde sonore trasportate
dall'aria ecc. possono essere considerati disturbi trascurabili).

Se immaginiamo di applicare delle forze  (parallele al tavolo) al bicchiere, otteniamo che il bicchiere
comincia a muoversi sul tavolo. Poiché il bicchiere striscia sul tavolo, si producono delle forze di attrito
per cui il bicchiere non è più un sistema isolato (interagendo col tavolo). Però, se si potessero rendere
questo attrito trascurabile, il nostro bicchiere tornerebbe a diventare un sistema isolato (sempre entro
certi limiti).

Lo studio di un sistema isolato risulta ovviamente più semplice rispetto allo studio di un sistema che
interagisce con l'esterno. Quando possibile, occorre preferire i sistemi meccanici isolati oppure, sempre
ove possibile, cercare di ridurre al massimo le influenze esterne.

02 - Sistemi di riferimento inerziali.

Per studiare le proprietà di un sistema meccanico occorre sempre definire un sistema di riferimento
spaziale (di solito un sistema di assi cartesiani) ed un sistema di riferimento temporale (un
orologio).

Un punto  P  del sistema è così caratterizzato dalle coordinate spaziali  (x, y, z)  e dalla coordinata
temporale  t .

Fra tutti i possibili sistemi di riferimento ve ne sono di quelli che godono di particolari proprietà. Per
essi lo spazio è omogeneo ed isotropo ed il tempo è omogeneo.

Tali sistemi si dicono inerziali.

Lo spazio è omogeneo quando le proprietà meccaniche di un sistema non cambiano se il sistema
meccanico viene traslato parallelamente.

Lo spazio è isotropo quando le proprietà meccaniche di un sistema non cambiano se il sistema
meccanico viene ruotato di un certo angolo.

Il tempo è omogeneo quando le proprietà meccaniche di un sistema non cambiano se l'origine
dei tempi (il cosiddetto istante  0 ) viene posto ad un differente istante.

Naturalmente si suppone che l'orologio scelto segni il tempo in modo omogeneo, ovvero "marci"
sempre allo stesso modo.

La descrizione dei sistemi meccanici riferiti a sistemi di riferimento inerziali risulta in generale più
semplice per cui è utile, ove possibile, riferirsi sempre ad un sistema di riferimento inerziale, cioè
scegliere un tale sistema di riferimento.

03 - Sistemi di riferimento non inerziali.

I sistemi di riferimento non inerziali sono sistemi di riferimento rispetto ai quali lo spazio non è omogeneo
ed isotropo ed il tempo non è isotropo.

In generale tutti i sistemi di riferimento esistenti in natura sono non inerziali mentre quelli inerziali
sono pure astrazioni matematiche. In certi casi, però, se ci si "accontenta" di precisioni non alte,
molti sistemi di riferimento reali possono essere considerati (entro certi limiti) inerziali.

La superficie terrestre su cui viviamo non è un sistema di riferimento inerziale perché la terra ruota
su se stessa. Essendo questa rotazione lenta, però, entro certi limiti possiamo considerare la superficie
terrestre, il sistema di riferimento della nostra vita, pressoché inerziale.

Certi fenomeni ed esperimenti, però, evidenziano la non "inerzialità" di questo sistema di riferimento.

Il pendolo di Foucault, per esempio, mette in evidenza la rotazione terrestre in quanto, oscillando il
pendolo sempre sullo stesso piano (per un principio che vedremo in seguito, il principio di conservazione
del momento angolare), la terra ruota indipendentemente dal piano di oscillazione del pendolo.

I cicloni, nel nostro emisfero, ruotano in senso antiorario e gli anticicloni in senso orario (viceversa
nell'altro emisfero)

Le rotaie della Transiberiana si consumano in modo asimmetrico.

L'acqua cambia il modo di ruotare mentre esce da un lavandino nel passare da un emisfero all'altro.

Un corpo, cadendo da una torre, devia la propria traiettoria verso est. Questo fenomeno fu
studiato da Galileo stesso.

Il corpo devia verso est perché al punto di partenza, in cima alla torre, possiede una velocità superiore
rispetto alla velocità con cui si muove la base della torre (il tutto rispetto ad un sistema inerziale rispetto
al quale la terra ruota).

In generale un sistema di riferimento ruotante è un sistema di riferimento non inerziale perché le varie
posizioni ed orientazioni dello spazio e del tempo non sono rispetto ad esso equivalenti.

Un ottimo sistema di riferimento inerziale su scala astronomica (a livello di sistema solare) è il cosiddetto
sistema delle stelle fisse. Si tratta delle stelle vicine della nostra stessa galassia (la via lattea) le cui
posizioni relative cambiano molto lentamente (date le grandi distanze i gioco).

04  - 1' principio della dinamica (principio d'inerzia).

Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, un corpo su cui non agiscono forze (o che su cui
agiscono forze la cui risultante (somma) è nulla) si muove di moto rettilineo uniforme.

Il moto rettilineo uniforme è un moto con velocità costante in direzione, verso ed intensità.

La velocità di un corpo è rappresentata da un vettore cioè da un segmento dotato di freccia
(orientato). Un vettore è caratterizzato dalla direzione (la retta su cui giace), dal verso (quello
indicato dalla freccia) e dall'intensità (la sua lunghezza che rappresenta il valore della grandezza
rappresentata rispetto ad una unità di misura).

Lo stato di quiete è un caso particolare di moto rettilineo uniforme, quando la velocità è nulla
(sempre rispetto al sistema di riferimento prescelto).

Un corpo non soggetto a forze allora si muove rispetto ad un sistema di riferimento inerziale di
moto rettilineo uniforme. Questo è l'enunciato del 1' principio della dinamica (o principio
d'inerzia), il principio su cui si basa l'intera fisica e che fu scoperto da Galileo.

In effetti, questo principio, pur essendo così importante, è un principio "debole" che porta ad
un evidente "circolo vizioso" che solo nel 1916 Einstein, con la sua teoria della relatività
generale, riuscì ad eliminare.

Il "circolo vizioso" a cui si perviene analizzando il principio d'inerzia è il seguente :

"se su un corpo non agiscono forze esso si muove con velocità costante rispetto ad un sistema
di riferimento inerziale che è un sistema di riferimento rispetto al quale i corpi non soggetti a
forze si muovono con velocità costante"

05 - 2' principio della dinamica.

Cosa succede se su un corpo agisce una forza ? Il corpo cambierà la propria velocità (in generale
in direzione, verso ed intensità). Quando un corpo cambia la propria velocità (in direzione e/o in verso
e/o in intensità) si dice che accelera, ovvero che subisce una accelerazione.

Un corpo su cui agisce una forza, allora, accelera. Quanto vale questa accelerazione ?

Newton scoprì la formula :

F = m · a ,

detta appunto formula di Newton, che esprime il legame matematico fra la forza che agisce su un
corpo e l'accelerazione a cui il corpo è di conseguenza sottoposto. Questa formula esprime in sintesi
il 2' principio della dinamica.

La formula di Newton costituì un radicale cambiamento rispetto alle concezioni fisiche a lui precedenti.
Aristotele, infatti, aveva affermato che la forza che agisce su un corpo è proporzionale alla sua
velocità.

Questo risultato errato può scaturire dall'osservare per esempio un carro trainato da buoi. Per avere
una velocità costante i buoi devono esercitare una forza costante. Aristotele non aveva considerato
gli  attriti che sono anch'essi delle forze !!! Se non vi fossero gli attriti, tenendo la forza costante, il carro
accelererebbe continuamente (la sua velocità crescerebbe in modo continuo).

Ci possiamo rendere conto che un corpo su cui agisce una forza costante subisce una accelerazione
costante, per esempio facendo cadere un sasso a terra. Il sasso è attratto da una forza costante (il suo
peso) verso il centro della terra, quindi, su di esso agisce una forza costante. Osservandolo cadere
notiamo facilmente che esso accelererà in maniera costante (in verità, quasi costante per via dell'attrito
con l'aria).

Il coefficiente di proporzionalità  m  presente nella formula  F = m · a  si chiama massa del corpo ed
esprime la quantità di materia presente nel corpo.

L'unità di misura della massa (in fisica si devono sempre definire le unità di misura di ciascuna
grandezza e lo si fa utilizzando quelle del cosiddetto sistema internazionale  S.I.) è il chilogrammo
(kg) che corrisponde alla massa di un cilindretto campione di una lega di platino-iridio (una lega
molto resistente alla corrosione) conservato a Parigi.

Vediamo ora qualche semplice applicazione della formula  F = m · a .

Prima occorre però ricordare che la velocità è definita come spazio percorso / tempo impiegato
e si misura in metri/secondi (m/s). L'accelerazione, invece, è definita come variazione di velocità
nel tempo e si misura in metri/secondo-quadrato (m/s²).

Consideriamo un corpo di massa  1  kg  su cui agisce una certa forza costante. Supponiamo che
l'accelerazione che ne risulta sia pari ad  1  m/s²  . L'accelerazione è una grandezza che è facilmente
misurabile facendo misure di spazio e tempo sul corpo in questione rispetto ad un sistema di riferimento
assegnato.

Quanto sarà la forza che agisce sul corpo ? Applicando la formula  F = m · a  si ottiene :

F = 1 · 1 = 1

ma in che unità di misura si esprime la forza ? Nel sistema internazionale la forza si misura in
newton (N), Un  N  corrisponde ad una forza che imprime ad un corpo di massa  1 kg  una accelerazione
di  1 m/s²  cioè :

1 N = 1 kg · 1 m/s²  = 1 kg · m / s².

Infine notiamo che la formula  F = m · a  si può riassumere affermando che forza ed accelerazione
sono direttamente proporzionali mentre massa ed accelerazione sono inversamente proporzionali.

06 - 3' principio della dinamica.

La somma (la risultante) di tutte le forze che agiscono fra i corpi che costituiscono un sistema
isolato è nulla. In altre parole "ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria".

Questo è in sintesi l'enunciato del 3' principio della dinamica.

Una diretta conseguenza dei 3 principi della dinamica (omettiamo la dimostrazione) è che un sistema isolato
può essere considerato come un punto materiale coincidente con il centro di massa (baricentro) del
medesimo con tutta la massa del sistema concentrata in quel punto che (a causa del 1' principio) si muoverà
di moto rettilineo uniforme.

07 - Leggi di conservazione.

Consideriamo un sistema isolato (che non interagisce con l'esterno) riferito ad un sistema di
riferimento inerziale. Per un tale sistema vi sono  3  grandezze che non cambiano nel tempo,
nonostante i punti materiali che costituiscono il sistema si muovano continuamente risentendo
delle interazioni (forze) fra di essi.

Queste  3  grandezze costanti sono : l'energia, la quantità di moto (detta anche impulso) ed il
momento della quantità di moto (detto anche momento angolare).

Esse, quindi, nonostante il sistema isolato evolva continuamente, non cambiano nel tempo.
Rimangono costanti e per questo si dice anche che si conservano.

08 - Energia.

Il concetto di energia e della sua conservazione deriva direttamente dal principio di omogeneità
del tempo. La dimostrazione di questo, essendo prettamente matematica, esula dallo scopo di
questa pagina, per cui considereremo questa affermazione vera senza dimostrazione.

Vi sono due tipi di energia : l'energia cinetica e l'energia potenziale.

L'energia di un sistema isolato è data dalla somma della sua energia cinetica più la sua
energia potenziale, cioè :

dove  E  indica l'energia (totale) del sistema, T  la sua energia cinetica ed  U  la sua energia potenziale.

L'energia  E  di un sistema isolato, quindi, rimane costante nel tempo. Durante lo scorrere del tempo
l'energia cinetica  T  del sistema cambierà continuamente così come la sua energia potenziale  U
ma la loro somma rimarrà sempre costante.

Questo è il significato profondo del principio di conservazione dell'energia.

L'energia cinetica è dovuta esclusivamente al fatto che un corpo si muove (rispetto ad un sistema
di riferimento). Essa dipende dalla massa del corpo e dalla sua velocità.

Un punto materiale di massa  m  in moto con velocità  v  ha energia cinetica :

.

Supponiamo per esempio che un corpo di massa  1 kg  si muova con velocità  1 m/s . La sua
energia cinetica sarà allora semplicemente :

T = 0.5 · 1 · 1 ²  =  0.5 joule (J)

(l'unità di misura dell'energia nel sistema internazionale è il joule (J)).

Si noti il fatto molto importante che se la velocità raddoppia, l'energia cinetica quadruplica, se la
velocità triplica l'energia cinetica diventa  9  volte ecc. L'energia cinetica è quindi direttamente
proporzionale al quadrato della velocità.

Questo fatto è molto importante, e lo dovremmo tenere ben presente quando guidiamo l'automobile !!!

Supponiamo, malauguratamente, di urtare un ostacolo fermo, per esempio un muro. Nell'istante
dell'urto, l'auto (con tutto ciò che contiene ed, ahimè, anche noi) possiede una certa velocità  v  .
Alla fine dell'urto la velocità dell'auto (di ciò che rimane) è zero. Dove è "andata" l'energia cinetica  T
che l'auto aveva al momento dell'urto e che è data dalla nota formula ? Noi sappiamo che in natura
nulla si crea e nulla si distrugge (Lavoisier) per cui questa energia deve essere andata da qualche
parte. Essa si è "distribuita" in molti "effetti" : calore, deformazioni delle strutture dell'auto, del muro e,
purtroppo, dei nostri corpi ...

Le deformazioni prodotte dall'urto sono modifiche dei legami chimici (quindi elettrici) fra i vari
componenti in gioco.

E questo in maniera dipendente dal quadrato della velocità, per cui se si urta un muro ai  100  all'ora
invece che ai  50 , non si ha un effetto devastante doppio, bensì quadruplo !!!

Per cui, attenzione, moderiamo la velocità !!!

Infine, l'energia cinetica è direttamente proporzionale alla massa.

L'energia potenziale dipende esclusivamente dal fatto che i corpi, e le loro parti, interagiscono fra
loro a causa delle forze che agiscono in natura (gravitazione, elettromagnetismo, nucleare).

L'energia potenziale dipende allora dai tipi di forze in gioco e dalle distanze fra i corpi (e fra i
componenti dei corpi). Per questo motivo non esiste una formula matematica unica per l'energia
potenziale così come si ha per l'energia cinetica. Ogni tipo di forza ha la propria formula dell'energia
potenziale.

Consideriamo ora un caso realistico di un sistema isolato composto da soli  3  punti materiali e
studiamone l'energia. Un sistema formato da molti più punti materiali sarà sicuramente più complesso,
ma sarà concettualmente analogo a questo semplice sistema a  3  corpi.

I tre punti materiali possono essere, ovviamente, in qualunque punto geometrico dell'usuale spazio
tridimensionale, però noi, per esigenze di semplicità grafica, supporremo che i tre punti si trovino
su di un piano sul quale tracceremo un sistema di riferimento cartesiano  0xy . Questa limitazione
non influisce sulle considerazioni che faremo.

Possiamo allora disegnare il sistema isolato in questione ad un certo istante  t . I tre punti materiali
avranno ciascuno la propria massa, e ciascun punto sarà dotato in quell'istante di una certa velocità.
Inoltre fra i punti materiali agiscono delle forze che dipendono dal tipo di interazione presente
fra esse (gravitazionale ecc.). Supponiamo che il tipo di forza in gioco sia quella gravitazionale,
per cui le forze fra i punti materiali sono attrattive.

A questo punto, teniamo presente un dato di fondamentale importanza. Sia le velocità che le forze
sono dei vettori.

I vettori sono fra gli oggetti matematici più importanti e costituiscono le basi matematiche su cui è costruita
la fisica. Un vettore è rappresentato da un segmento dotato di freccia (orientato). Un vettore ha quindi
una direzione (la retta su cui giace), un verso (quello indicato dalla freccia) ed una intensità (o modulo,
la lunghezza del segmento che, rispetto ad una certa unità di misura, determina il valore della grandezza
fisica che è rappresentata dal vettore stesso).

I vettori si possono sommare fra loro utilizzando la cosiddetta regola del parallelogrammo :

per cui, dati i vettori  a  e  b  si ottiene la loro somma o risultante  a + b  nel modo indicato in figura,
semplicemente disegnando un parallelogrammo e prendendone la diagonale principale.

Questa regola è derivata direttamente dallo studio delle proprietà delle forze.

Per il nostro sistema isolato formato da  3  corpi abbiamo allora al tempo  t  , per esempio, la seguente
situazione :

dove    sono le masse dei tre punti materiali,    sono le loro velocità e
sono le forze risultanti dalle forze di interazione fra i punti materiali a due a due.

Tutto ciò è all'istante  t  ed è come se si facesse una "fotografia" del sistema in quell'istante.

Le forze risultanti  sono ottenute applicando la regola del parallelogramma a partire dalle
singole forze con cui i  3  punti materiali interagiscono fra loro e che sono "applicate" nei singoli punti.
Nel nostro caso, ogni punto materiale risente dell'interazione (forza) di ciascuno altro, per cui su ogni
punto agiscono due forze di cui si fa poi la risultante.

Si noti anche che il punto  1  attira (nel nostro esempio la forza è quella gravitazionale) il punto  2
ed il punto  2  attira il punto  1  con una stessa forza ma di verso contrario (la direzione è quella
della retta congiungente i due punti). Idem fra  1  e  3  e fra  2  e  3  .

Calcoliamo ora l'energia (complessiva) di questo sistema. Essa sarà data dalla somma delle
energie cinetiche dei singoli punti materiali più la somma delle energie potenziali dei medesimi.

Si può scrivere allora :

dove con U  intendiamo l'energia potenziale complessiva di cui non diamo per semplicità la formula
matematica (nell'esempio abbiamo considerato i punti materiali soggetti alla forza gravitazionale).

Al trascorrere del tempo il sistema evolve ed i punti materiali tracciano traiettorie continue :

Istante per istante le velocità dei tre punti cambiano con continuità e così cambiano anche le loro
posizioni. Ciò significa che, istante per istante, l'energia cinetica del sistema e la sua energia potenziale
cambiano si conseguenza.

Per il principio di conservazione dell'energia possiamo però affermare che l'energia totale del sistema,
che è la somma di energia cinetica e potenziale, non cambia allo scorrere del tempo.

Consideriamo ora il campo gravitazionale presente sulla superficie terrestre e nelle sue immediate
vicinanze (alcune centinaia di metri) all'interno del quale si svolge la nostra vita e che per questo è
l' "ambiente" della nostra esperienza quotidiana.

Siccome questo campo dipende dalla distanza che i vari corpi hanno rispetto al centro della terra, ed
essendo tale distanza molto grande (circa 6500 km) rispetto alle possibili quote a cui possiamo porre
i corpi in questione (entro il limite di pochi centinaia di metri che ci siamo posti), il campo gravitazionale
qui, sulla superficie della terra, si dice uniforme.

Se noi poniamo un corpo ad un metro rispetto alla superficie terrestre o lo poniamo a cinque metri da
essa, essendo la differenza di distanze fra le due posizioni ( 4  metri) trascurabile rispetto alla distanza
dal centro della terra, la forza di gravità con cui la terra attrae a sé questo corpo (il peso del corpo)
sarà "praticamente" lo stesso nelle due posizioni.

Consideriamo ora un corpo di massa  m  ad una quota  h  rispetto alla superficie terrestre. Per
comodità facciamo coincidere questa superficie con il pavimento. Se prendessimo qualunque
altro piano di riferimento, purché parallelo alla superficie terrestre, le considerazioni che stiamo
per fare non cambierebbero.

Supponiamo che il corpo sia inizialmente fermo (velocità nulla) :

L'energia cinetica del corpo è allora inizialmente nulla.

D'altra parte, il corpo si trova immerso nel campo gravitazionale per cui avrà una certa energia potenziale
che dipende dalla quota del corpo stesso.

La formula dell'energia potenziale in questo caso è molto semplice (ne omettiamo la dimostrazione) :

dove  g  è la cosiddetta accelerazione di gravità che vale circa  10 m/s² .

All'istante iniziale allora l'energia del corpo è :

E = T + U

dove  T  è zero perché in quell'istante il corpo è fermo ed  U  vale  mgh . Sara allora :

E = 0 + mgh = mgh .

Ora lasciamo cadere il corpo. Cosa succederà nell'istante in cui esso toccherà il pavimento ?

In quell'istante esso avrà raggiunto una velocità  v  e quindi una energia cinetica   .

La sua energia potenziale sarà però zero, perché la quota del pavimento è  h = 0 .

All'istante finale si avrà :

.

Ma poiché l'energia ( E = T + U ) si conserva ed era  E = mgh  , si deduce che :

.

Si vede quindi che l'energia potenziale si è trasformata in energia cinetica !!! Nulla si crea e nulla
si distrugge, ma tutto si trasforma.

Lasciamo al lettore volenteroso di calcolare da questa uguaglianza la velocità con cui il corpo tocca
terra.

09 - Quantità di moto.

La conservazione della quantità di moto (detta anche impulso) è deducibile matematicamente
direttamente dal principio di omogeneità dello spazio.

Il principio di conservazione della quantità di moto esprime empiricamente la tendenza che hanno
i corpi di mantenere costante la velocità del loro centro di massa.

La quantità di moto è il prodotto fra la massa e la velocità. Si ha cioè :

p = m · v

dove  m  è la massa, v  la velocità e  p  è la quantità di moto. L'unità di misura della quantità di moto
è di conseguenza  kg · m / s .

Consideriamo un punto materiale di massa  m  in moto con velocità  v  rispetto ad un opportuno
sistema di riferimento. Poiché la velocità è un vettore, si deduce che anche la quantità di moto è un
vettore.

Se la massa è pari a  1 kg , moltiplicando  v  per  1  si ottiene un vettore quantità di moto identico al
vettore velocità. Se la massa è pari a  2 kg , si ottiene un vettore quantità di moto doppio del vettore
velocità. Se la massa è pari a  0.5 kg , si ottiene un vettore quantità di moto metà del vettore velocità.
Quanto affermato vale ovviamente se per semplicità si riferiscono le due unità di misura di velocità e
quantità di noto ad uno stesso segmento campione.

Consideriamo ora un sistema isolato formato da  3  punti materiali che interagiscono fra loro. Per
comodità di grafica supponiamo che i tre punti giacciano su di un piano su cui è definito un sistema
di riferimento inerziale di coordinate cartesiane  oxy . In un certo istante  t  la "fotografia" del sistema
sarà :

dove   sono le masse dei tre punti materiali,    le loro velocità e    le loro
quantità di moto.

Le considerazioni che faremo, varranno naturalmente per un sistema isolato formato da un numero qualunque
di punti materiali.

Calcoliamo ora la quantità di moto totale del sistema considerata come la somma vettoriale delle
quantità di moto dei singoli punti materiali che costituiscono il sistema. Avremo allora :

dove  P  indica la quantità di moto totale del sistema (si dice semplicemente quantità di moto del sistema)
e la somma fra le    è la somma vettoriale fatta con la regola del parallelogramma.

La rappresentazione grafica del vettore  P  è la seguente :

(i tre  vettori  sono stati preventivamente trasportati parallelamente in modo da farli avere
una origine comune in un punto qualunque).

Orbene, per un sistema isolato la quantità di moto totale non cambia nel tempo, essa si conserva.

Allo scorrere del tempo, i punti materiali, interagendo fra loro, hanno la loro velocità, e quindi anche la
quantità di moto, che varia istante per istante. La somma (vettoriale) delle quantità di moto dei singoli
punti materiali, però, non cambia nel tempo.

Questo è il contenuto del principio di conservazione della quantità di moto.

Se, istante per istante, il vettore  P  non cambia, possiamo considerare un sistema isolato come un
unico punto materiale, la cui massa  M  è la somma di tutte le singole masse dei punti materiali che lo
compongono, in moto con quantità di moto  P . Siccome la massa totale  M  non cambia, non cambiando
la quantità di moto totale  P , la velocità  V  del punto materiale in cui si può considerare "concentrato"
il sistema, di conseguenza non varierà.

Possiamo allora considerare un sistema isolato come un solo punto di massa  M  uguale alla somma di
tutte le masse dei singoli punti che lo costituiscono, in moto rettilineo uniforme con velocità  V  pari al
rapporto P / M .

La massa totale di un un sistema isolato si può considerare concentrata nel suo centro di massa (o
baricentro).

Come esempi del principio di conservazione della quantità di moto possiamo riportare il motore a
reazione ed il gioco del biliardo.

Consideriamo un missile sulla rampa di lancio prima della partenza. La sua quantità di moto è
evidentemente zero perché la sua velocità è zero. Alla partenza, viene acceso il propellente e
dall'ugello comincia ad uscire gas ad altissima velocità. Questo gas è costituito da un numero
enorme di molecole ciascuna dotata di una piccolissima massa ma di una velocità altissima.
Si ottiene così, facendo la somma di tutte le singole quantità di moto delle molecole, una quantità
di moto totale molto grande.

A questo punto, per il principio di conservazione della quantità di moto, il missile deve anche lui
"dotarsi" di una quantità di moto uguale e contraria (in verso) in modo da ottenere una quantità
di moto complessiva (quella del gas che fuoriesce e quella del missile) sempre nulla. Nulla era
la quantità di moto iniziale e nulla deve essere dopo la partenza.

Missili, aerei a reazioni ecc. quindi si muovono a causa del principio della conservazione della quantità
di moto !!! Un motore a reazione non ha bisogno, a differenza dei motori ad elica, di un mezzo quale
l'aria da avvitare, ma funzionano anche nel vuoto.

Il gioco del biliardo ed in generale tutti gli urti cosiddetti elastici, cioè senza che avvengano delle
deformazioni nei corpi interessati all'urto, possono essere visti alla luce del principio di conservazione
della quantità di moto.

Consideriamo una palla da biliardo che urta una palla ferma. La quantità di moto prima dell'urto è
quella della sola palla in moto. Dopo l'urto, le due palle proseguiranno ciascuna con la propria
quantità di moto ma la somma (vettoriale) di queste due quantità di moto sarà sempre uguale
alla quantità di moto prima dell'urto.

A questo punto si potrebbero fare anche interessanti considerazioni sugli angoli delle traiettorie di
uscita delle palle dopo l'urto !!!

Terminiamo dicendo che anche gli urti fra particelle atomiche e subatomiche si studiano alla luce
del principio di conservazione della quantità di moto.

10 - Momento della quantità di moto.

La conservazione del momento della quantità di moto (detta anche momento angolare) è
deducibile matematicamente direttamente dal principio di isotropia della spazio.

Il principio di conservazione del momento della quantità di moto esprime empiricamente la tendenza
che hanno i corpi che ruotano su se tessi, attorno ad un asse, di farlo indefinitamente.

La definizione matematica di momento della quantità di moto non è semplice. Poniamoci allora in
una situazione privilegiata, la più semplice possibile. Immaginiamo un punto materiale di massa  m  che
ruota attorno ad un punto  O  ad una distanza da esso pari a  r  e con velocità costante  v . La sua
quantità di moto sarà allora  p = m · v . Supponiamo che la rotazione avvenga in modo antiorario :

Il momento della quantità di moto è allora :

m = r · p .

Se un corpo è dotato di molti punti materiali, per calcolare il momento della quantità di moto
complessiva basta fare la somma dei singoli momenti della quantità di moto dei singoli punti
materiali. Questo, però, è complicato dal fatto che il momento della quantità di moto è un vettore
di tipo "più complicato" di quelli visti finora. Per non entrare nei particolari, mostriamo come si calcola
il momento della quantità di moto in un caso particolare molto semplice : un disco rotante molto sottile.

Immaginiamo allora un disco che ruota attorno al suo asse. Il disco può essere pensato come composto
da un numero infinito di punti materiali ciascuno dei quali dotato del proprio momento della quantità di
moto che si calcola, come sappiamo, moltiplicando la propria distanza dal centro per la propria quantità
di moto. Il momento della quantità di moto totale sarà allora la somma degli infiniti momenti della
quantità di moto degli infiniti punti materiali che costituiscono il disco.

Si noti che in questo caso, come nel precedente, il raggio condotto dal centro di rotazione ad un punto
materiale è sempre perpendicolare alla corrispondente quantità di moto. E' proprio grazie a questa
particolarità che è possibile definire una formula semplice per il momento della quantità di moto.

Orbene, in un sistema isolato, il momento della quantità di moto si conserva, cioè, nonostante il
sistema evolva, grazie alle interazioni fra i punti materiali che lo costituiscono, esso (il momento) rimane
invariato nel tempo.

Questa affermazione va sotto il nome di principio di conservazione del momento della quantità di
moto.

Come esempi di applicazione di questo principio diamo la spiegazione del perché una pattinatrice su
ghiaccio, ruotando su se stessa, aumenti o diminuisca la velocità di questa rotazione a seconda che
avvicini o allontani le braccia da sé.

Altri esempi di applicazione del principio di conservazione del momento della quantità di moto sono
le trottole che tendono a ruotare indefinitamente e il nostro pianeta terra che ruota su se stesso
facendo un giro al giorno in maniera "quasi" perfetta. In effetti, sia una semplice trottola che un pianeta
non sono sistemi isolati, per cui la loro rotazione è "disturbata" più o meno intensamente. Per una
trottola, l'interazione col tavolo su cui la pongo a ruotare è la causa principale della cessazione della
sua rotazione.

Per un pianeta, ciò che disturba sono vari fattori. Per la terra, il disturbo è dato oltre che dalla luna,
anche dalla non perfetta sfericità della terra stessa e dalla sua non omogeneità in termini di densità
di materia. Risultato di ciò è una lentissima oscillazione a forma di cono con ulteriori minori oscillazioni
sinusoidali dell'asse terrestre con le note implicazioni astronomiche che vanno sotto il nome di "precessione
degli equinozi".

Ma ritorniamo alla nostra pattinatrice che possiamo paragonare ad un corpo in rotazione attorno
ad un centro fisso come nel primo esempio dato sopra. Siccome il momento della quantità di moto
si deve conservare, se la pattinatrice allarga le braccia è come se aumentasse il raggio  r . Aumentando
il raggio  r , perché il momento della quantità di moto  m  rimanga costante, essendo  m = r · p , deve
diminuire  p , la quantità di moto, cioè la velocità di rotazione deve diminuire.

Ecco così spiegato fisicamente un curioso fenomeno molto spettacolare !!!

Fine.

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